1 연쇄 법칙
연쇄 법칙은 합성 함수의 도함수에 관한 것이다. 미분가능한 함수 $f$와 $g$가 있을 때 $f(g(x))$의 도함수는 아래와 같다.
$$f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$
이 것을 $u=g(x)$라고 하고 라이프니츠 표기법으로 쓸 수도 있다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
n개의 함수가 합성이 되어져 있는 경우에도 함성함수가 구해지는데 라이프니츠 표기법으로 나타내면 아래와 같이 나온다. 왜 연쇄법칙인지 알 수 있는 결과이다.
$$\frac{df_1}{dx} = \frac{df_1}{df_2} \frac{df_2}{df_3} ... \frac{df_{n-1}}{df_n} $$
2 예제
연쇄 법칙이 쓰이는 곳은 $y = \frac{1}{x^2+1}$같은 경우가 있을 것이다. $y = \frac{1}{u}, u=x^2+1$로 두고 각각을 미분 후 곱하면 합성합수의 도함수가 나오게 된다.
$$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{u^2}, \frac{du}{dx} = 2 \cdot x$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 2 \cdot x = -\frac{2 \cdot x}{(x^2+1)^2}$$
이렇게 계산이 된다.